Introduction
1. Volatility
percentage 수익률
$$\frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} \times 100$$
로그 수익률 (log return)
$$\ln \frac{P_t}{P_{t-1}}$$
2-day percentage return
$$\frac{P_t - P_{t-2}}{P_{t-2}} \neq \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} * \frac{P_{t-1} - P_{t-2}}{P_{t-2}}$$
2-day log return
$$\ln \frac{P_t}{P_{t-2}} = \ln \left( \frac{P_t}{P_{t-1}} \frac{P_{t-1}}{P_{t-2}} \right) = \ln \frac{P_t}{P_{t-1}} + \ln \frac{P_{t-1}}{P_{t-2}}$$
로그 수익률은 1일 로그 수익률의 합으로 표현할 수 있어 이점이 있다.
2. Random Walk
variables
Assuming that, $X_i$ is independent(no Covariance)
$$X_i = \begin{cases} 1 & \text{ if head, }\ -1 & \text{ if tail}\end{cases}$$
$$M_t = \sum_{i=1}^{t} X_i$$
$$M_0 = 0$$
expectation
$$\text{E} (M_b - M_a) = \text{E} \left( \sum_{i=1}^{b} X_i - \sum_{i=1}^{a} X_i \right) = \text{E} \left(\sum_{i=a+1}^{b} X_i \right) = \sum_{i=a+1}^{b} \text{E} \left(X_i \right) = 0$$
Variance
$$\text{Var} (M_b - M_a) = \text{Var} \left( \sum_{i=a+1}^{b} X_i \right) = \sum_{i=a+1}^{b} \text{Var} \left(X_i \right) + \text{Cov}$$
현재 $X_i$가 독립적이므로 공분산(Cov)을 무시할 수 있다. 위 식은 아래의 식을 기반으로 계산할 수 있다.
$$\text{Var} (X_i) = \text{E}(X_i^2) - \left[\text{E}(X_i)\right]^2 = \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{1}{2}(-1)^2 = 1$$
따라서 다음의 결과를 얻을 수 있다.
$$\text{Var} (M_b - M_a) = \sum_{i=a+1}^{b} \text{Var} \left(X_i \right) = (b-a) \text{Var}(X_i) = (b-a)$$
Stochastic process
- a sequence of random variables
- Discrete vs. Continuous
- Time series vs. Brownian motion
Scaled Random Walk
Variables
$$X_i = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{n}} & \text{ if head, }\ -\frac{1}{\sqrt{n}} & \text{ if tail}\end{cases}$$
$$W_t^{(n)} = \sum_{i=1}^{nt} X_i$$
$$W_0 = 0$$
Increment
$$\Delta W_{ba}^{(n)} = W_{b}^{(n)} - W_{a}^{(n)}$$
expectation
$$\text{E} \left( W^{(n)}_{b} - W^{(n)}_{a} \right) = \text{E} \left( \sum_{i=1}^{nb} X_i - \sum_{i=1}^{na} X_i \right) = \sum_{i=na}^{nb} \text{E}(X_i)$$
Variance
$$\text{Var} \left( W^{(n)}_{b} - W^{(n)}_{a} \right) = \text{Var} \left( \sum_{i=na}^{nb} X_i \right) = \sum_{i=na}^{nb} \text{Var} \left(X_i \right) + \text{Cov}$$
$$\text{Var} (X_i) = \text{E}(X_i^2) - \left[\text{E}(X_i)\right]^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt n})^2 + \frac{1}{2}(-\frac{1}{\sqrt n})^2 = \frac{1}{n}$$
$$\text{Var} \left( W^{(n)}_{b} - W^{(n)}_{a} \right) = (b-a)$$
scaled random walk에서 $n \rightarrow \infty$ 이면 Gaussian distribution, 즉 Brownian motion이 된다.
$\Delta t$ Increment
$$\Delta W = W(t + \Delta t) - W(t) \sim N(0, \Delta t)$$
여기서 핵심은 Increments가 normalization이 되어있는 거고 각각의 variables이 normalization 되어있는 것을 의미하는 것이 아니다.