질량중심과 무게중심에 대하여1

우리는 일상생활속에서 무게중심이라는 단어를 자주 사용한다. 하지만 막상 생각해보면 구체적인 의미는 알지 못하고 있다. 질량중심과 무게중심에 대해 알아보도록 하자.

질량중심(Center of Mass, CM)

질량중심은 부분부분의 아주 작은 질량(질점)에 기준점으로부터의 상대적 위치를 고려하여 평균을 낸 것이다. 외부에서 힘이 작용할 때 질량중심에 작용하는 것으로 이해할 수 있는 점이다.
불연속적인 분포에서 정의는 다음과 같다.

$$
\overrightarrow{r_{CM}} = \frac{\sum_{k} \overrightarrow{r_k} \cdot m_k}{M}
$$

또한 연속적인 분포인 경우에는 다음과 같이 표현된다.

$$ \overrightarrow{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int \overrightarrow{r} dm $$

여기서 M은 입자계 전체의 질량을 의미한다.

질량중심은 질량중심에 대한 각 입자의 상대적인 위치에 질량을 곱한 값을 모두 합하면 0이 된다는 성질을 갖는다.

$$ \sum_{k} m_k (\overrightarrow{r_k} - \overrightarrow{r}_{CM}) = 0 $$

이를 조금 더 단순하게 이해하자면 질량중심은 질량이 큰 부분에 더 가까이 위치한다는 것이다. 질량이 작은경우 거리가 멀어지고 질량이 큰 경우 거리가 가까워져야 상쇄되어 0이 된다고 생각하면 이해하기 쉽다.

무게중심(Center of Gravity)

무게중심은 중력에 의한 알짜 토크가 0인 지점을 의미한다. 쉽게 말해 중력에 의해 물체가 회전하지 않고 정지한 상태를 유지하는 지점이다. 물체의 각 부분에 작용하는 전체 중력을 한 점에 작용하는 것으로 생각할 수 있는 점을 의미한다.

중력가속도가 일정한 상황에서 질량중심과 무게중심은 같다. 그렇기에 일상생활에서는 대부분 질량중심과 무게중심은 거의 같은 의미로 사용된다.

무게중심은 질량중심과 같은 방법으로 구할 수 있다. 또한 무게중심의 정의를 이용해서도 구할 수 있다. 물체를 실에 매달에서 정지했을 때 실의 연직아래에 무게중심이 존재한다. 따라서 물체를 여러각도에서 매달에 공통되는 점을 찾으면 그 점이 무게중심이 된다.

무게중심은 물체의 안정성과도 연관이 깊다.

안정성이란 물체가 평형 상태에서 벗어났을 때, 다시 평형 상태롤 되돌아가려는 경향이다. 평형 상태에서 벗어났을 때 무게중심의 중력 퍼텐셜 에너지가 증가하거나 감소하는 것에 따라 구조물의 안정성이 결정된다. 즉 평형 상태에서 벗어났을 때 무게 중심의 중력 퍼텐셜 에너지가 증가하는 경우라면 구조물은 원래상태를 유지하려 할 것이고 무게 중심의 중력 퍼텐셜 에너지가 감소하는 경우라면 구조물은 원래상태를 유지하지 못하고 쓰러지게 될 것이다.